概率论与数理统计习题11习题答案 - 下载本文

求:(1)X的分布函数; (2)P{X?33}、P{1?X?}、P{1?X?}。 2221?0,x?0?1?,0?x?1? 解:(1) F(x)?P{X?x}??3

1?,1?x?2?2??1,x?2111PX{?}?F()?;

223331P{1?X?}?P{X?}?P{X??1};

2263331 P。 {1??X}?P{1??X}?P{X?}?2226 2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的,且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数,求X的分布律、分布函数。

解:由题意知X服从二项分布B(3,),从而

21231 P{X?0}?(1?1)?18;

122 P{X?1}?C3?212?(1?12)?1238;

38 P{X?2}?C3?()?(1?2)? ;

P{X?3}?()?21318

即X的概率分布列为

X 0 1 2 3

pk 1/8 3/8 3/8 1/8

由分布函数定义

?0,?1/8,??F(x)?P{X?x}??4/8,?7/8,???1,x?00?x?11?x?2

2?x?3x?3 3.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的,且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数,求X的分布律、分布函数。

解:由题意知X服从二项分布B(3,),从而

52532 P{X?0}?(1?1)?27125

)2 P{X?1}?C3?225?(1?2225?2554125

P{X?2}?C3?()?(1?5)?36125 P{X?3}?()?5238125

即X的概率分布列为

X 0 1 2 3

pk 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得

?0,?27/125,?? F(x)?P{X?x}??81/125,?117/125,???1,x?00?x?11?x?2

2?x?3x?34.一台设备有三大?#32771;?#26500;成,在设备运转过程中各?#32771;?#38656;要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30,假设各?#32771;?#30340;状态相互独立,以X表示同时需要调整的?#32771;?#25968;,试求X的概率分布。

解:设:Ai(i?1,“?#32771;㱮需要调整”。 2,3)表示:

P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504;

P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.398; P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.092 P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.006

故X的概率分布列为

X 0 1 2 3

pk 0.504 0.398 0.092 0.006

5.已知某?#20013;?#21495;的雷管在一定刺激下发火率为4/5,今独立重复地作刺激试验,直到发火为止,则消耗的雷管数X是一离散型随机变量,求X的概率分布。

? 解:X的可能取值为1,2,3,。 记Ak表示“第k次试验雷管发火”则Ak表示

“第k次试验雷管不发火”从而得 p1?P{X?1}?P(A1)?45

1545 p2?P{X?2}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)??

12 p3?P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?()?545

??

1k?14

pk?P{X?k}?P(A1A2?Ak?1Ak)?()?55依次类推,得消耗的雷管数X的概率分布为 P{X?k}?1k?1?()554(k?1,2,3,?)

???Acosx,x?6.设随机变量X的概率密度为f(x)??2,求:

?其它?0,(1)系数A;(2)X的分布函数;(3)X落在区间(??4,?4)内的概率。

解:连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性,因此由归一性及定义可求出系数A及X的分布函数,至于(3)可由X的分布函数求得。 (1)由归一性, 解得A?1/2。

(2)由连续型随机变量的定义知X的分布函数为 F(x)? 当x???2??????f(x)dx???2?2Acosxdx?2A?1

?xx??f(u)du

时,F(x)????f(u)du=0;

当??2?x??2时,

x??2 F(x)??2???f(u)du????0dx??x12??2cosxdx?12?12sinx

当x?时,

x??2? F(x)????f(u)du????0dx???2?212cosxdx???0dx2x?1

故X的分布函数为

0,x???/2?? F(x)??(1?sinx)/2,??/2?x??/2

?1,x??/2,? (3)所求概率为 P{??4?X??4}?F(?4)?F(??4)?22

7.设随机变量X的分布函数为 F(x)?a?求:(1)系数a;

(2)X落在区间(-1,1)中的概率;

(3)随机变量X的概率密?#21462;#?#25552;示:Arctanx为反正切函数) 解:(1)由F(??)?a?1211?(1Arctanx (???x???)

??2?)?1,解得a?12。故得

F(x)???Arctanx (???x???)

(2)P{?1?X?1}?F(1)?F(?1) ?12?1??4??[12?1??(??4)]?12

(3)所求概率密度为 f(x)?F?(x)?(12?1?Arctanx)??12??(1?x)???x???) ()??8.设随机变量X的概率分布为f(x?Ax,0?x?1,?0其它,以Y表示对X的三次独

立重复观察中事件{X?解:由归一性

12。 }出现的次数,试确定常数A,并求概率PY{?2} 1??f(x)dx??Axdx???0??1A2

所以A=2。即 f(x)??1?2x,0?x?1?0,1其它1

1 P{X?}?F()?22?2??f(x)dx??202xdx?14

所以Y~B(3,),从而

421 P{Y?2}=C3()?41234?964

9.在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1,2,3路汽车,设每个人等车时间(单位:分钟)均服从[0,5]上的均匀分布,求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。

解 :设X表示每个人等车时间,且X服从[0,5]上的均匀分布,其概率分布为

?1/5, f(x)???0, P{X?2}?0?x?5其它f(x)dx?

20?2???1/5dx?0.4

又设Y表示等车时间不超过2分钟的人数,则Y~B(3,0.4),所求概率为 P{Y?2}?1?P{Y?1}

?1?C3?0.6?C3?0.4?0.6?0.352

10.在电源电压不超过200,200~240?#32479;?#36807;240伏的三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假定电源电压X~N(220,25),试求: (提示:

?(0.8)?0.788)

20312(1) 该电子元件被损坏的概率?

(2) 电子元件被损坏时,电源电压在200~240伏内的概率?。 解:设A1:“电源电压不超过200伏”;A2:“电源电压在200~240伏”; “电源电压超过240伏”; B:“电子元件被埙坏”。 A3:

(220,25),所以 由于X~N2





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