行列式 - 下载本文

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中?#21152;?#30528;非常广泛的应用,是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中,它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组?#21335;?#24615;相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子(或符号)

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式,行列式中每一个数称为行列式的元素,数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成,两行两列;展开式是一个数或多项式;若是多项式则必有2!?2项,且正负项的各数相同。

应用:解线性方程

例1:二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解:D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21,D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2,

D2?a21b2得 x1??2x?3x2?8. 例2:解方程组?1x?2x??32?18323?2?(?2)?3?1??7,D1??8?(?2)?3?(?3)??7, 解 D??3?21?2D2?281?3?2?(?3)?8?1??14.

因D??7?0,故所给方程组有唯一解

x1?D1?7?1,D?14?2. x2?2???7D?7D

1

2.三阶行列式

定义2

2由3个数排成3行3列所组成下面的式子(符号) a11a12a13a21a22a23=a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33. a31a32a33称为三阶行列式。3阶行列式由3个元素组成,三行三列;展开式也是一个数或多项式;若是多项式则必有3!?6项,且正负项的各数相同。其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。

应用:解三元线性方程组

类似于二元线性方程组的讨论,对三元线性方程组

?a11x1?a12x2?a13x3?b1??a21x1?a22x2?a23x3?b2, ?ax?ax?ax?b3223333?311记

2a11D=a21a12a22a32b1a13b1a12a22a32a12a13a23, a33b1b2, b3a31a11a23, D1=b2a33b3a13a11D2=a21b2a23, D3=a21a22a31b3a33a31a32若系数行列式D?0,则该方程组有唯一解:

x1?D1,Dx2?D2,Dx3?D3. D1例3. 计算三阶行列式42305 ?106123解 405?1?0?6?2?5(?1)?3?4?0?3?0?(?1)?1?5?0?4?2?6

?106??10?48??58.

?x1?2x2?x3??2?例4 ( 解三元线性方程组?2x1?x2?3x3?1.

??x?x?x?023?1解 由于方程组?#21335;?#25968;行列式

1?211?3 D?2?11?1

2

?1?1?(?1)?(?2)?(?3)?(?1)?1?2?1?(?1)?1?1?1?(?3)?1?(?2)?2?(?1)

??5?0,

?2?211?211?2?21?3??5,D2?21?3??10,D3?211??5, D1?101?1?10?1?110故所求方程组的解为:

x1?DD1D?1, x2?2?2, x3?3?1. DDD3. 全排列和逆序数

3.1 全排列 定义3

把n个不同的元素排成一列组成的一个?#34892;?#25968;组称为这n不同数的一个全排列(简称排列).显然,由1,2,?,n组成的12?n是一个全排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序排起来的,称自然排列。

标准排列:对n个不同的自然数从小到大构成的排列.

n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列.

例如, 自然数1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数?

(3!=6) ;

自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种;

那么互异元素

p1,p2,?,pn构成的不同排列?有n!种.

3.2逆序数

定义4

在一个全排列中,如果某两个数(元素)?#21335;?#21518;次序与标准次序不同时, 称这两个数(元素)之间有(存在)1个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列j1j2?jn的逆序数记为?(j1j2?jn).

注意:逆序是对元素来说的,而逆序数是对一排列来说的。 算法:固定i(?2,3,?), 当j?i时,

满足pj?pi的“pj”的个数记作ti(称为pi的逆序),

?(p1p2?pn)?t2???tn.

例 求排列8372451的逆序数, ??t2???t7?1?1?3?2?2?6?15.

那么

定义5

对一排列来说,逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列.

3.3排列的奇?#22841;?

把一个排列中某两个数的位?#27809;?#25442;,而其余的数不动,就得到另一个排列.这样一个变

3

换称为一个对换.显然,如果连续施行再次相同的对换,那么排列就还原了.由此得知,一个对换把全部排列两两配对,使每两个配成对的排列在这个对换下互变.

定理 对换改变排列的奇?#22841;?

这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列. 相邻对换:p1?pipi?1?pn?p1?pi?1pi?pn

一般对换:p1?pi?pj?pn?p1?pj?pi?pn(i?j)

推论 在全部n!各排列中,奇、偶排列的个数相等,各有n!/2个.

4.n阶行列式

4.1 n阶行列式的定义 定义6

2由n个数aij(i,j?1,2,?,n)排成n行n列的式子, 称

a11D?a21?aa12a22?a?a1n?a2n??an1n2nn

为n阶行列式。

注意:n阶行列式|D|是一个算式(多项式)。

当n?1时,|D|?a11?a11;

当n?2时,Dn?D?a11A11?a12A12???a1nA1n?其中,A1j?(?1)

1?j?aj?1n1jA1j

M1j

a21?ai,1?an1?a2,j?1??ai,j?1??an,j?1a2,j?1?a2n?ai,j?1?an,j?1??ai,n?ai?1,n??ann M1j?ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,j?1

并称M1j为元素a1j的余子式,A1j为元素a1j的代数余子式;其中, 求和式中共有n!项.

4.2几个特殊行列式

上三角行列式,下三角行列式和对角行列式

4

a11D1?a12a22?a1n?a2n??????a11?a1,n?1D2?a21?a2,n?1??an1a1na11D3?0?0例5 计算

0a22?0ann, 00. ?ann

a11D1?a12a22?a1n?a2n??ann

解:利用数学归纳法可以证明。

D1?a11a22?ann

结论:以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积.

例6 证明

00Dn??0an100???0a1nn(n?1)?2??(?1)a1na2,n?1?an1 ??a2,n?1?????an?1,2??证明:利用行列式的定义

Dn?(?1)1?na1n00??0?a3,n?2???a2,n?1????(?1)1?naDn?1?(?1)n?1Dn?1

an1?反复利用行列式的定义,可得

Dn?(?1)n?1a1nDn?1?(?1)n?1a1n(?1)n?2a2,n?1Dn?2?(?1)(n?1)?(n?2)???2?1a1na2,n?1?an?1,2an1 ?(?1)n(n?1)2a1na2,n?1?an1

结论:以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号(?1)

n(n?1)2.

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